如果妇女出轨并提出离婚，双方可以协商离婚。如果谈判失败，你可以向法院起诉离婚。至于子女的监护权，双方可以协商解决。但是，如果双方无法通过协商解决，可以向法院提起诉讼，让法院作出判决。对于子女的监护权，我们应该从有利于子女成长的角度仔细确认双方的情况，然后作出判决。然而，母乳喂养期间的子女通常被判由妇女抚养。如果不是哺乳期，这取决于那一方更适合儿童的成长，并征求儿童自己的意见。但两岁以下的儿童通常与母亲住在一起。
如果母亲有以下情况之一，她可以和父亲住在一起：（1）如果她患有长期无法治愈的传染病或其他严重疾病，她的孩子不应该和她住在一起；（2）如果她有赡养条件，不履行赡养义务，而父亲要求她的孩子和她住在一起；（3）由于其他原因，孩子们真的不能和母亲住在一起。一方抚养子女的，另一方有权探视并支付赡养费。有固定收入的，一般按其固定收入的20-30%支付；如果没有固定收入，法院将根据子女的实际支出、当地生活水平和双方的经济状况综合确定。因此，如果妇女出轨并提出离婚，子女的监护权应根据情况确定。只要妇女没有重大疾病并愿意抚养子女，两岁以下的妇女一般都会抚养子女。超过两岁的，取决于情况。一般来说，孩子的监护权应该根据孩子的意愿和双方的条件来判断。
《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。
